Cara Mudah Mencari Nilai Maksimum atau Minimum Dari Fungsi Kuadrat

Terkadang Anda membutuhkan informasi tentang nilai maksimum atau minimum sebuah fungsi kuadrat. Untuk mencari nilai maksimum dan minimum, pertama-tama Anda harus menuliskan fungsi tersebut dalam bentuk umum, yaitu y = ax^2 + bx + c, atau bentuk standar, yaitu y = a(x – h)^2 + k. Setelah itu, Anda dapat menggunakan kalkulus sederhana untuk menghitung turunan fungsi tersebut, dan mencari titik di mana turunan sama dengan nol untuk menemukan nilai maksimum atau minimum. Dalam kasus fungsi kuadrat, titik ini selalu berada di tengah-tengah antara dua akar, atau x = -b/2a.

Cara Mencari Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Memulai dari Bentuk Umum Fungsi

Untuk mencari nilai maksimum atau minimum sebuah fungsi kuadrat, langkah pertama yang harus dilakukan adalah menuliskan fungsi tersebut dalam bentuk umum, yaitu:

y = ax^2 + bx + c

atau bentuk standar, yaitu:

y = a(x – h)^2 + k

di mana a, b, c, h, dan k adalah konstanta.

cara mudah mencari nilai maksimum atau minimum dari fungsi kuadrat

Tentukan Arah Kurva

Setelah menuliskan fungsi dalam bentuk umum, langkah berikutnya adalah menentukan arah kurva. Sebuah fungsi kuadrat akan membentuk sebuah kurva parabola. Kurva parabola bisa membuka ke atas atau ke bawah, tergantung pada nilai koefisien a. Jika a positif, parabola membuka ke atas. Jika a negatif, parabola membuka ke bawah.

Contoh:

Jika diberikan fungsi kuadrat y = 2x^2 + 4x + 1, maka koefisien a adalah 2 yang merupakan nilai positif, sehingga parabola membuka ke atas. Sedangkan jika diberikan fungsi kuadrat y = -3x^2 + 6x – 2, maka koefisien a adalah -3 yang merupakan nilai negatif, sehingga parabola membuka ke bawah.

Hitung -b/2a

Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai dari -b/2a. Hasil dari perhitungan ini adalah nilai dari puncak parabola atau titik di mana kurva memiliki nilai maksimum atau minimum. Jika fungsi kuadrat ditulis dalam bentuk umum y = ax^2 + bx + c, maka rumus untuk menghitung nilai ini adalah:

-b/2a

Dalam contoh pertama, misalnya, jika diberikan fungsi kuadrat y = 2x^2 + 4x + 1, maka koefisien a adalah 2 dan koefisien b adalah 4. Sehingga, nilai -b/2a adalah:

-4/(2 x 2) = -1

Nilai ini menunjukkan bahwa titik puncak parabola berada pada koordinat (-1, 3).

Dalam contoh kedua, jika diberikan fungsi kuadr

Jawaban Nilai Maksimum atau Minimum

Jika pertanyaannya hanya tentang nilai maksimum atau minimum, maka jawabannya cukup dengan memberikan nilai (atau nilai ). Periksa kembali nilai koefisien untuk memastikan apakah fungsi memiliki nilai maksimum atau minimum.

Contoh Pertama

Dalam contoh pertama, nilai koefisien a adalah positif, sehingga fungsi memiliki nilai minimum. Titik puncaknya bisa ditemukan dengan menghitung -b/2a, yaitu . Nilai minimumnya adalah .

Contoh Kedua

Dalam contoh kedua, nilai koefisien a adalah negatif, sehingga fungsi memiliki nilai maksimum. Titik puncaknya bisa ditemukan dengan menghitung -b/2a, yaitu . Nilai maksimumnya adalah .

Menggunakan Bentuk Baku atau Verteks

Ketika menuliskan fungsi kuadrat, kita dapat menggunakan bentuk baku atau verteks untuk lebih mudah menentukan nilai maksimum atau minimum. Bentuk baku atau verteks dari fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:

Bentuk Baku:

Fungsi kuadrat dalam bentuk baku adalah seperti ini:
y = ax^2 + bx + c
Bentuk Verteks:

Fungsi kuadrat dalam bentuk verteks atau standar adalah seperti ini:
y = a(x-h)^2 + k

Tentukan arah kurva

Untuk menentukan arah kurva parabola pada fungsi kuadrat dalam bentuk baku atau verteks, perhatikan nilai koefisien a. Jika nilai koefisien a positif, maka parabola membuka ke atas. Namun, jika nilai koefisien a negatif, maka parabola membuka ke bawah.

Contoh:
Untuk fungsi kuadrat y = 2x^2 + 4x – 5, nilai koefisien a positif, sehingga parabola membuka ke atas.

Tentukan nilai maksimum atau minimum

Untuk menentukan nilai maksimum atau minimum pada fungsi kuadrat dalam bentuk baku atau verteks, cukup perhatikan nilai variabel k. Jika fungsi memiliki bentuk verteks, nilai k langsung menjadi nilai maksimum atau minimum fungsi.

Contoh:
Untuk fungsi kuadrat y = 2x^2 + 4x – 5, nilai variabel k adalah -5. Karena nilai koefisien a positif, maka fungsi memiliki nilai minimum pada titik puncak.

Cari titik puncak

Jika yang ditanyakan adalah koordinat titik minimum atau maksimum, maka dapat dicari titik puncaknya. Pada bentuk verteks, koordinat titik puncak dapat langsung dibaca dari variabel h dan k.

Contoh:
Untuk fungsi kuadrat y = 2(x+1)^2 – 9, koordinat titik puncaknya adalah (-1,-9). Sedangkan untuk fungsi kuadrat y = -3(x-2)^2 + 2, koordinat titik puncaknya adalah (2,2).

Menggunakan Kalkulus untuk Mencari Titik Minimum atau Maksimum

Jika Anda ingin mencari titik minimum atau maksimum pada suatu fungsi kuadrat, Anda dapat menggunakan kalkulus. Berikut adalah langkah-langkahnya:

Mulailah dengan bentuk umum

Tuliskan fungsi kuadrat dalam bentuk umum, f(x) = ax2 + bx + c. Gabungkan suku yang sama jika perlu.

Gunakan aturan turunan untuk mencari turunan pertama

Dengan menggunakan aturan turunan sederhana, turunan pertama dari fungsi kuadrat adalah f'(x) = 2ax + b.

Buat nilai turunan menjadi nol

Titik minimum atau maksimum diperoleh ketika turunan pertama fungsi sama dengan nol. Oleh karena itu, buat turunan pertama fungsi menjadi nol dan cari nilai x yang sesuai.

Cari nilai x

Gunakan aturan dasar aljabar untuk menyelesaikan persamaan f'(x) = 0 dan cari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.

Masukkan nilai x ke dalam fungsi semula

Setelah nilai x ditemukan, masukkan nilai tersebut ke dalam fungsi semula dan peroleh nilai minimum atau maksimum fungsi.

Tuliskan jawaban

Jawabannya adalah titik puncak maksimum atau minimum. Pada fungsi contoh, f(x) = 2x2 + 4x + 1, koefisiennya positif sehingga fungsinya membuka ke atas. Titik puncaknya adalah koordinat (-1,1) dan nilai minimum fungsi tersebut adalah 1.

Anda sedang melihat postingan ini: Cara Mudah Mencari Nilai Maksimum atau Minimum Dari Fungsi Kuadrat